Архивные карты: когда не хватает информации

В предыдущей статье теоретического цикла, посвящённого подготовке исторических карт для использования их в навигации, я подробно рассмотрел необходимые шаги, которые всегда нужно предпринимать, чтобы получить удовлетворительный результат. Коротко повторю здесь основные положения той статьи.
Привязка (калибровка) любой карты - достаточно сложный и комплексный процесс, который состоит из определенных шагов и последовательности, в которой их желательно выполнять. Эти шаги следующие:

Выявление информации о проекции карты и ее системе координат
Геометрическая и цветовая коррекция исходного растрового материала.
Определение допустимых ошибок привязки.
Поиск имеющихся на карте точек привязки и расчет недостающих точек.
Привязка карты в имеющихся программах.
Определение точек на карте, которые можно использовать для перевода системы координат карты в современную.
Расчет параметров датума по известным современным координатам определенных выше точек.

В этой статье я хочу немного подробнее остановиться на двух важных стадиях этой последовательности, а именно: на выявлении информации о проекции карты и её системе координат, а также на расчёте недостающих точек привязки, исходя из имеющейся информации на карте.

Почему это важно?

Для чего же нужно знать, в какой проекции была изготовлена карта? Всё дело в том, что при изображении части земной поверхности на плоском листе всегда возникают искажения, вид которых и обусловлен выбранной проекцией при составлении карты. Лучше всего это иллюстрирует классический пример (Б.Б. Серапинас. Математическая картография, М., 2ОО5) с видом полуострова Аляска в разных проекциях. По аналогии, автор учебника изобразил в этих же проекциях контур человеческой головы.

Представим себе, что мы пытаемся привязать карту Аляски с третьего рисунка слева, в проекции, которая изображает её так, как на четвертом рисунке! Как бы мы не поворачивали и не растягивали исходный растр (эту операцию умеют делать многие программы), изменения углов будут столь значительными, что невозможно будет достичь даже приблизительного соответствия координат большинства точек растра координатам сетки выбранной проекции. И тем не менее, до сих пор многие пытаются привязать к простой квадратной сетке проекции Geographic (Lat/Lon) карты, изображённые в конических проекциях, или того больше: в проекции Бонна, содержащей сложную "криволинейно-трапециевидную" сетку!
   Правда, с уменьшением размера участка картографируемой земной поверхности этот эффект уменьшается (поэтому часто эта ошибка остается незамеченной), но она никогда не исчезает до конца. Цельные же листы среднемасштабных карт, таких как военные трёхвёрстки или карты Менде без учёта этих соображений окажутся привязанными с огромными ошибками.
   Очень важно также знать систему координат карты и, в первую очередь, параметры земного эллипсоида, применяемого при её создании. К примеру, размеры большой полуоси эллипсоида Вальбека, который использовали при создании "военных трёхвёрсток" на 1200 метров меньше большой полуоси современного эллипсоида WGS84! Это значит, что вся область покрытия картами-трёхвёрстками, как в меридиональном, так и в широтном направлении, если измерять по картам, меньше реальной, современной, на десятки и сотни метров! То есть, если мы "наколем" на физических листах трехверсток достаточно удаленные друг от друга точки и измерим между ними расстояние с учетом масштаба карт, то получим гораздо меньшую величину, чем если бы измерили то же расстояние на местности (естественно, современными средствами) или же, если бы мы провели то же измерение на современных картах, которые используют более точные параметры земного эллипсоида. Наглядный разбор такой распространённой ошибки сделан в этом же номере журнала, в рубрике "Практикум".
   Нужно иметь в виду, что часто в руках у исследователя имеется лишь отдельный лист карты или даже отсканированный файл, на котором не указаны ни параметры системы координат, ни проекция, в которой снималась и изображалась карта. Как же быть в таком, достаточно распространённом случае?
   Как ни странно, проще всего с системами координат. Несмотря на то, что параметры эллипсоида Бесселя известны с 1841 года, широко использоваться в нашей стране он стал лишь в первой половине XX века, а именно - для построения довоенных карт Генштаба. В послевоенное время ему на смену пришёл более точный эллипсоид Красовского. Во всех остальных случаях (скажем, для карт XIX столетия) лучше попробовать для привязки систему координат, основанную на эллипсоиде Вальбека. Большинство карт этого времени использовало именно его. В любом случае, ошибка в выборе эллипсоида легко может быть установлена способом, который описан в "Практикуме".
   Для многих, широко распространённых карт проекции известны. Так, для "военных трёхвёрсток" это проекция Бонна. Для не менее известной десятиверстной карты Стрельбицкого использовалась коническая проекция Гаусса. Конические проекции использовались и для построения широко известных карт Менде.
   А как же быть с проекцией карты, если в имеющемся материале она не указана? Тут нам на помощь придут специальные методы распознавания проекций.

Распознавание проекций

Ниже мы будем рассматривать общие правила для распознавания проекций по сетке на примерах мелкомасштабных карт, которые охватывают целые территории материков, полушария или даже всю земную поверхность (О.А.Лебедева. Картографические проекции, Новосибирск, 2000). Так будет гораздо нагляднее. Но следует иметь в виду, что все эти правила совершенно справедливы и для средне- и крупномасштабных карт. Некоторые, легко бросающиеся в глаза на мелокомасштабных картах отличительные признаки в последнем случае менее заметны, но легко могут быть выявлены с помощью доступного программного обеспечения. Это касается измерения углов между параллелями и меридианами и измерения расстояний; множество программ позволяет провести такие измерения на отсканированных образцах.

Цилиндрические проекции

В цилиндрических проекциях в нормальном положении параллели являются прямыми линиями, а меридианы – перпендикулярные им прямые, отстоящие друг от друга на равные расстояния.
В равнопромежуточной (1) проекции и параллели равноотстоящие, в равновеликой проекции (2) промежутки между параллелями уменьшаются в направлении полюсов; если же промежутки между параллелями по мере приближения к полюсам увеличиваются, причем на широте 60° промежуток между параллелями в два раза больше такого же промежутка у экватора, то перед нами равноугольная меркаторская проекция (3). В последней проекции изображены элементы ("тайлы") всех популярных онлайновых картографических сервисов, таких как Яндекс-Карты, Google Maps или Bing Maps. Если же промежутки между параллелями в крайних широтах нарастают медленнее, чем в "Меркаторе", то скорее всего, карта была составлена в стереографической цилиндрической проекции.

Конические проекции

Характерным признаком конических проекций являются параллели в виде концентрических окружностей, при этом меридианы – прямые линии (радиусы этих окружностей). Если измерить углы между меридианами на карте, то они окажутся меньше разности долгот, обозначенной на карте. И вновь, если расстояния между параллелями на всей карте одинаковое, то проекция является равнопромежуточной (1), если эти расстояния убывают к северу и югу, начиная от некоторой средней параллели, то перед нами равновеликая коническая проекция Альберса (2), а если, наоборот, увеличиваются, то равноугольная коническая проекция Ламберта (3). Второй важный отличительный признак конических проекций - это то, что меридианы и параллели в них пересекаются строго под прямым углом.

Азимутальные проекции

Азимутальные проекции в нормальном положении используются для изображения полярных областей и поэтому среди исторических карт встречаются несколько реже. Однако, их отличительные черты следует знать, чтобы на фрагментах карт или на крупномасштабных картах не путать с коническими. В таких проекциях, так же как и в конических, параллели являются концентрическими окружностями или их фрагментами, и меридианы — радиусы этих окружностей, но вот углы между ними в точности равны разности долгот. И снова, как и в конических и цилиндрических проекциях если расстояния между параллелями одинаковые, то проекция будет равнопромежуточной (1). Если расстояния между параллелями уменьшаются от полюса к экватору и на экваторе составляют 0,7 интервала между параллелями у полюса, то это равновеликая азимутальная проекция (2), если же расстояния между параллелями уменьшаются еще сильнее, так, что у экватора они почти сливаются, то проекция является ортографической. В равноугольной азимутальной(стереографической) проекции (3) в нормальном положении расстояния между параллелями увеличиваются от полюса к экватору примерно в два раза, а если они возрастают до бесконечности, то перед нами - гномоническая проекция (на картах в этой проекции невозможно территорию полушария целиком). Для карт полушарий применяют азимутальные проекции в поперечном положении (1). Для них справедливы те же закономерности, что и для нормальных сеток, но интервалы между параллелями надо определять вдоль осевого меридиана от центральной точки к полюсам. Точно так же измеряются расстояния между меридианами, если считать их по экватору, который изображается прямой линией. В поперечной стереографической проекции и меридианы, и параллели изображаются окружностями, а в поперечной гномонической проекции меридианы - параллельные прямые.
Для изображения материков азимутальные проекции используют в косом положении. Правила их распознавания точно такие же, что и для нормальной сетки.

Проекции с круговыми параллелями

У псевдоконической проекции Бонна (1), в которой создана широко известная военно-топографическая трёхвёрстная карта, сетка симметрична относительно среднего прямолинейного меридиана, и этот меридиан разделяется параллелями на равные части. Сами параллели являются концентрическими окружностями, а криволинейные меридианы делят их на равные части.
Отличие простой поликонической проекции (2) от проекции Бонна в том, что параллели в ней - не концентрические, а эксцентрические окружности.

Псевдоцилиндрические проекции

Для всех псевдоцилиндрических проекций параллели - прямые линии, а меридианы - различные кривые, которые симметричны одному прямолинейному меридиану. В некоторых проекциях полюс может быть изображён точкой, а в других — полярной линией, как в цилиндрических проекциях. Большая группа псевдоцилиндрических проекций имеет синусоидальные меридианы. У псевдоцилиндрической равновеликой проекции Сансона (1) параллели равноотстоят друг от друга и делятся меридианами на равные части; полюс изображается точкой. В близких по внешнему виду равновеликих синусоидальных проекциях Эккерта (2) и В. В. Каврайского(1936 г.) интервалы между параллелями уменьшаются от экватора к полюсам, которые изображены полярными линиями, равными половине экватора, а параллели также равноразделены.
Как следует из названия, в равновеликой эллиптической проекции Мольвейде(3) меридианы изображены эллипсами, которые делят каждую параллель на равные части, а полюс изображается точкой.

Напоследок обязательно следует упомянуть ещё одну широко используемую проекцию: поперечную проекцию Меркатора и её частный случай - проекцию Гаусса-Крюгера. В этой проекции изготовлены практически все средне- и крупномасштабные карты территории бывшего СССР, начиная с довоенного времени. Характерной внешней чертой этих карт является то, что рамка карты совпадает с градусной сеткой (в зависимости от масштаба, ширина и высота рамки имеет строго стандартизованную величину в градусах и минутах). Линии параллелей и меридианов - кривые линии сложной формы. Для крупномасштабных карт имеется ещё одна характерная особенность: почти всегда нанесена и альтернативная километровая сетка, шаг которой равен удвоенному масштабу карты. Хороший пример карты с такой проекцией приведён в "Практикуме".

Что делать, если информации на карте не хватает?

Всегда хорошо, если наша карта имеет градусную сетку, а число точек пересечения линий этой сетки достаточно велико. Тогда мы имеем хороший набор точек для привязки карты в компьютерной программе, поскольку у каждой точки пересечения есть точно выраженные широта и долгота. Важно ещё, чтобы такие точки, по возможности, равномерно распределялись по всей площади карты.
В случае трёхвёрстной военно-топографической карты, карт Менде и т.д. часто такой удобной возможности нет. Бывает так, что лист карты хотя и имеет нанесенную градусную сетку, но содержит лишь одну параллель, пересеченную двумя-тремя меридианами приблизительно в центре листа. Для привязки такая ситуация не годится: во-первых, точек мало (крайне желательно, чтобы точек было не менее 5) а во-вторых, расположение точек на линии, близкой к прямой, ведёт к огромным ошибкам при расчёте привязки программой. Что же делать в таких случаях?
В таких случаях существует хороший и совершенно точный способ. Если мы посмотрим на сборные листы карт, таких как военно-топографическая (1), Менде (2), или десятивёрстная карта Стрельбицкого (3), то увидим, что листы этих карт в большинстве случаев имеют строго постоянные, определённые ширину и высоту, а следовательно, границы листов задают удобную альтернативную сетку координат.

В случае военной трёхвёрстки размер одного листа составляет (с учётом масштаба) 69 вёрст в ширину и 49,5 вёрст в высоту. А одно- и двухвёрстная карты Менде Тверской области содержат листы, каждый из которых покрывает ровно 34 версты по ширине и 24 версты по высоте. Кроме того, листы "устроены" таким образом, что они привязаны к началу системы геодезических координат, которая и образует эту сеткой. И теперь, если мы знаем проекцию, в которой создана карта, мы по совершенно однозначным математическим формулам этой проекции сможем связать географические (угловые) и геодезические (линейные) координаты точек.
Можно ещё вспомнить о том, что "ручное" рисование карты (способ, который был единственным доступным картографам XIX века) всегда начинается с ее рамки, на которую потом накладывают градусную сетку, а затем уже наносят остальные объекты. И тогда мы имеем еще одну, точную и бесспорную альтернативную систему координат в дополнение к имеющейся градусной сетке. Таким образом, помимо легко определимых визуально на карте точек пересечения параллелей и меридианов, мы сможем рассчитать однозначно определяемые координаты углов листа, а затем, зная эти координаты, и координаты точек пересечения имеющихся на карте линий параллелей и меридианов с рамкой карты. То что для привязки мы будем иметь "смешанные" координаты (часть по градусной сетке, а часть - по альтернативной, километровой, верстовой или футовой) не беда: многие современные программы прекрасно справляются с такими "смешанными" координатами.

Владимир Комиссаров